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統計学への確率論,その先へ






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書籍情報
(「まえがき」より)本書は,本格的な数理統計学を目標とする読者向けに,特に統計学で重要となる事柄に重点をおき,速習的に確率論を学ぶことができる学部生向け教科書を目指した.微積分,線形代数と集合演算に関する多少の知識のみを前提とし,確率論を学びながら測度論の重要ポイントを押さえることにより,基礎となる理論の内容をおろそかにすることなく,最短経路で「測度論的確率論」の概略をつかみ,その先の「大標本理論」にスムーズに移行できるよう,その橋渡しとなることを目標とした.

関連情報
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統計学への確率論,その先へ
ゼロからの測度論的理解と漸近理論への架け橋
A5/232頁 定価(本体3500円+税) 978-4-7536-0125-7
清水泰隆(博士(数理科学)) 著
まえがき 著者略歴

目 次
第1章 確率モデルを作るまで
1.1 事象や観測を表現するための数学的記述
標本空間/事象:σ-加法族/実用的なσ-加法族:ボレル集合体
1.2 確率変数と確率
確率変数は観測である/“確率”とは何か?:確率と確率空間/確率測度の性質/条件付確率と2つの事象の独立性
1.3 不確実性の表現:確率分布と分布関数
分布と分布関数/ルベーグ=スティルチェス測度とルベーグ測度/様々な確率分布/1点分布:ディラック関数/ほとんど確実に?/確率空間の完備化について

第2章 分布や分布関数による積分
2.1 期待値の定義
離散型確率変数の期待値/一般の確率変数の期待値
2.2 スティルチェス積分について
ルベーグ型とリーマン型/より具体的な積分計算/積分の順序交換について:フビニの定理
2.3 分布を特徴付ける量や関数
積率(モーメント) /分布を特徴付ける関数たち/具体例をいくつか
2.4 確率・積率に関する不等式
確率を上から評価する/積率を上から評価する

第3章 確率変数の独立性と相関
3.1 確率変数の独立性
たくさんの事象の独立性/独立な確率変数列の構成/独立な確率変数の和と再生性
3.2 確率変数の相関と条件付期待値
相関と相関係数/初等的な条件付期待値:離散型/連続型確率変数に対する条件付期待値
3.3 多変量の分布と具体例
多変量分布に対する諸注意/離散型:多項分布/連続型:多変量正規分布/多変量確率ベクトルの平均・分散共分散行列

第4章 様々な収束概念と優収束定理
4.1 確率変数列の概収束
概収束の定義/期待値と極限の交換について
4.2 様々な確率的収束の概念とその強弱
確率収束,Lp-収束,分布収束/各種収束の関係
4.3 確率変数列の同時収束
同時収束はいつ成り立つのか?/同時分布収束:スラツキーの定理/連続写像定理

第5章 大数の法則と中心極限定理
5.1 大数の法則
大数の弱法則/大数の強法則
5.2 中心極限定理
確率論における“中心的な”極限定理/統計学への応用

第6章 再訪・条件付期待値
6.1 確率変数の“情報”という概念
確率変数の情報/情報はσ-加法族?/情報の独立性
6.2 情報による条件付期待値
離散型確率変数の場合/連続型確率変数の場合/σ-加法族に関する条件付期待値
6.3 条件付期待値に関する収束定理・不等式

第7章 統計的漸近理論に向けて
7.1 漸近オーダーの表記法
ランダウの漸近記法:Oo/確率的ランダウの記号:Opop
7.2 概収束に関する種々の結果
ボレル=カンテリの補題/大数の強法則の証明/確率収束を概収束として扱うテクニック/分布収束を概収束として扱うテクニック
7.3 モーメントの収束について
漸近分散と分散の極限の違い?/一様可積分性とモーメントの収束
7.4 分布収束の条件を1セットに(Portmanteau?)
7.5 変換された確率変数列の分布収束:デルタ法

付録A 落穂ひろい
A.1 関数や測度の絶対連続性
測度の絶対連続性/関数の絶対連続性
A.2 無限直積空間とIID確率変数の無限列
A.3 従属に見えて実は独立な標本平均と標本分散
A.4 正則条件付分布

付録B 演習の解答



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