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書籍情報
本改訂新編は，藤原松三郎著数学解析第一編「微分積分学」第一巻および第二巻を現代仮名遣いに改め，用語の一部を現在ひろく用いられているものに置き換えたものである．微分積分学の分野では周知の高木貞治著「解析概論」が著名であるが，藤原の「微分積分学」は日本語で書かれた解析教程（Cours d’Analyse）として，数学解析全般の基礎たるべき，概念の確立と事項の集成とに重点をおいて執筆された．種々の事柄を長さを厭わず徹底的に解説している点に特長があり，個々の定理を出典文献を挙げて詳細に述べている．新編では仮名遣いを現代表記に改めたほか，より現代の読者が読み易く分かり易いように表現や論証に手を加えた．学術用語についても，今日では使われることがなくなった術語を，現在定着しているものに置き換えた．原著の香りを出来る限り損なうことなく新たな命を吹き込んだ，名著の新たな発刊である． |
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微分積分学 第１巻 改訂新編
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| A5／660頁 定価（本体7500円＋税） 978-4-7536-0163-9
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| 藤原松三郎（理学博士） 著／浦川 肇（理学博士）／髙木 泉（理学博士）／藤原毅夫（工学博士） 編著 |
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 目 次 |
編者緒言
原著者紹介／原著，新編用語対照表／記号表
序言
凡例
第1章 基本概念
第1節 無理数
極限／切断／無理数／集合の上限，下限／実数の四則
第2節 数列の極限
数列の極限／数列の収束，発散，振動／上極限，下極限／極限の存在条件／コーシーの収束条件／カントルの無理数論／極限に関する定理／上極限，下極限に関する定理
第3節 点集合
点集合／集積点／ワイエルシュトラス-ボルツァーノの定理／導集合／区間
第4節 無限級数
無限級数の収束発散振動／正項級数の収束条件／一般級数の収束条件／絶対収束と条件収束／級数の積
第5節 無限乗積
無限乗積／収束条件／絶対収束
第6節 関数の極限
関数の定義／関数の極限／極限の第二定義／極限の存在条件／極限に関する定理／有界関数と単調関数
第7節 連続関数
連続関数／不連続関数／ワイエルシュトラスの逐次分割論法／連続関数の性質／上限下限と最大最小値／一様連続
第8節 初等関数
有理関数，代数関数，逆関数／三角関数／逆三角関数／指数関数／対数関数／一般の冪関数xaと一般指数関数ax／無限大になる速度／ランダウの記号
第1章 練習問題
第2章 微分
第1節 微分法
微係数と導関数／二つの関数の和差積商の微係数／合成関数の微係数／逆関数の微係数／初等関数の微係数／対数微分法／高次微係数の計算
第2節 導関数
左右の微係数／導関数の性質／微係数の幾何学的解釈／到る所微分不可能な連続関数
第3節 平均値定理
ロルの定理／平均値定理／テイラーの定理
第4節 平均値定理の応用
平均値定理の別の拡張／拡張された二次微係数／平均値定理の他の拡張／近似計算への応用／根の計算に関するニュートンの方法／不定形／ロピタルの定理の逆／関数の極大極小
第5節 テイラー級数
テイラー級数／テイラーの定理によらない展開／実解析的関数
第6節 関数項の無限級数
関数列と関数項の無限級数／一様収束／一様収束級数の性質／一様収束の判定条件／一点における一様収束／級数の項別微分／無限乗積の一様収束／冪級数の収束区間／コーシー-アダマールの定理／冪級数の和，差，積，商／冪級数の表す関数／アーベルの定理／実解析的関数の条件／実解析的関数の性質，準解析関数／特殊な形の級数／微積分学の発達
第2章 練習問題
第3章 積分
第1節 不定積分
不定積分／有理関数の積分／三角関数の積分／二次無理関数の積分／楕円積分／xm(axn+b)p の積分／超越関数の積分
第2節 定積分
定積分／連続関数の積分／有限個の不連続点をもつ有界関数の積分／積分の性質／定積分と不定積分との関係／部分積分／第一平均値定理／第二平均値定理
第3節 有界でない関数の積分
不連続関数の積分／有界でない関数の積分可能条件／コーシーの主値／積分の性質／級数の項別積分／項別積分に関するアルツェラの定理
第4節 無限積分
無限積分／無限積分と無限級数／無限積分の性質／無限積分の収束条件／項別積分／ベッセル関数／定積分の計算
第5節 ガンマ関数
Γ(x)の定義／Γ(x)の性質／Γ(x)の積分表示／B関数／Γ(x)とディリクレ級数／スターリングの公式
第6節 定積分の近似計算
定積分の近似計算／ガウスの理論
第3章 練習問題
第4章 二変数の関数
第1節 二重数列と二重級数
二重数列の極限／累次極限／二重極限の存在条件／単調二重数列と有界数列／二重数列の上極限，下極限／行，列の一様収束／二重級数／累次級数／絶対収束／二重級数の収束，発散の例／ヒルベルトの定理／ヘルダーおよびミンコフスキーの不等式／ハーディ-リトルウッドの定理
第2節 関数の極限
平面上の点集合の極限点と集積点／二変数の関数の極限／単調関数と有界関数／二変数の連続関数／変数の各々について連続な関数／一様収束／二変数の冪級数
第3節 二変数の関数の微分
偏微係数／平均値定理／全微分可能な関数／fxy = fyxの条件／テイラーの定理の拡張／二変数の関数の極大極小
第4節 二変数の関数の積分
定積分\(\int_a^b {f\left( {x,t} \right)dt}\)の連続性／定積分\(\int_a^b {f\left( {x,t} \right)\varphi \left( t \right)dt}\)の微分可能性／テイラーの定理の剰余項／無限積分の一様収束／\(\int_a^\infty {f\left( {x,t} \right)dt}\)の連続性／\(\int_a^\infty {f\left( {x,t} \right)dt}\)の微分可能性
第5節 二重積分
二重積分／累次積分／有界でない関数の二重積分／無限二重積分／二重級数と二重積分との関係／累次積分の順序変更
第6節 任意次数の微分積分
任意次数の微分積分／Dp fの性質／諸問題の統一的観点
第7節 定積分の近似評価
近似評価問題／無限級数と無限積分との交渉／ラプラスの問題／特異積分／ディリクレ積分／フーリエの二重積分公式／ベルヌーイ関数／オイラー-マクローリンの和の公式／近似級数／チェザロの定理
第4章 練習問題
文献補遺／補遺／総索引／欧字先頭索引／著者索引
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