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書籍情報
第2巻では，第1巻で展開された数と代数方程式に関する古典的理論を踏まえて，代数方程式の代数的可解性についてのガロアの理論など近代的代数学の中心的話題を丁寧に講述する．代数的可解性とは，加減乗除の四則演算と冪根をとる操作を有限回行って得られる数の性質であるから，数論の問題でもある．ここに数の個性を抽象的枠組みの中で論じる必然性が生まれる．代数的整数の理論を述べた第16章では「イデアル」が導入された経緯を詳細に説くことから始まっている．さながら，近代代数学の建築過程を目撃する思いである．本書が優れた自修書として位置付けられる所以である．藤原松三郎の「代数学」「微分積分学」は種々の事柄を長さを厭わず徹底的に解説している点に特長があり，個々の定理を出典文献を挙げて詳細に述べている．改訂新編では仮名遣いを現代表記に改めたほか，より現代の読者が読み易く分かり易いように表現や論証を整えた．現代の編著者が，原著の香りを出来る限り損なうことなく新たな命を吹き込んだ，名著の新たな発刊である． |
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代数学 第2巻 改訂新編
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| A5／720頁 定価（本体7800円＋税） 978-4-7536-0162-2
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| 藤原松三郎（理学博士） 著／浦川 肇（理学博士）／髙木 泉（理学博士）／藤原毅夫（工学博士） 編著 |
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 目 次 |
編者緒言
第2巻 編者緒言
編者附言／原著，新編用語対照表
序言
第10章 群論
第1節 群と部分群
群の定義／群の定義の単純化／群の乗積表／部分群／最大公約群と最小公倍群／二つの部分群による分解
第2節 共役群
共役元と共役群／一元および一部分群の不変群／直積
第3節 正規部分群
正規部分群／因子群／群の同型
第4節 群の組成列
最大正規部分群／ジョルダン-ヘルダーの定理／部分群の組成列／主要組成列
第5節 アーベル群
アーベル群の構造／アーベル群の基底／アーベル群の不変数
第6節 シロー部分群
シローの第一定理とフロベニウスの拡張／シローの第二定理
第7節 可解群
可解群／交換子と導来群／導来群列
第8節 置換群
置換群による抽象群の表現／対称群と交代群／交代群の単純性／推移群／原始的群／群論に関する史実
第10章 演習問題／第10章 諸定理
第11章 ガロアの方程式論
第1節 代数的数体
数体と部分数体／既約有理整関数と既約方程式／代数的数／代数的整数／与えられた数体に対する代数的数体／ガロア数体／逐次添加／代数的数体の原始数
第2節 方程式のガロア群
ガロア分解式／方程式のガロア群／ガロア群の特有性質／既約方程式のガロア群／ガロア群が非原始的推移群なる場合／ガロア方程式のガロア群
第3節 ガロア分解式の簡約
ラグランジュの定理／𝔎(ω)におけるガロア群／全分解式と偏分解式／ガロア分解式の簡約／自然無理量と副無理量／ガロア群が対称群なる場合
第4節 代数的に解かれる方程式
環状方程式／代数的に解かれる条件／平方根のみで解かれる方程式
第5節 円周等分方程式
1の原始n乗根／円周等分方程式／円周等分方程式の解法／正多角形の作図問題
第6節 アーベル方程式
アーベル方程式／アーベル方程式の解法
第7節 素数次の方程式
代数的に解かれる素数次の方程式／一次合同群／置換の解析的表示／ガロアの定理／実の冪根の添加による方程式の解法
第11章 演習問題／第11章 諸定理
第12章 行列の理論
第1節 行列
行列の四則／転置行列／行列の分解／行列の分解における最小数の単純な行列／整数要素の行列の分解
第2節 行列の単因子
行列の単因子／単純単因子／単因子の概念の拡張／正則小行列式／二つの行列の積の単因子
第3節 一次変換
一次変換／一次変換の積／一次形式の同等／一次のディオファンタス方程式／一次合同方程式／ミンコフスキーの定理
第4節 双一次形式
双一次形式の一次変換／双一次形式の同等／整係数の双一次形式
第5節 二次形式
二次形式の一次変換／二次形式の同等
第6節 双一次形式束
双一次形式束／通常双一次形式束の標準形式／一般の場合／通常双一次形式束の同等
第7節 二次形式束
二次形式束／二次形式束の分類／正値二次形式／エルミット形式束
第8節 不変変換
双一次形式および二次形式の不変変換／反傾変換／直交変換／ローレンツ変換
第9節 二次形式の特有方程式
特有方程式／Aとf(A) の特有方程式の根の関係／フロベニウスの定理／直交行列の特有方程式／正値エルミット形式の不変変換の特有方程式
第10節 多元複素数
ハミルトンの四元数／n個の単位からなる多元複素数体／主単位と零因数／二元の複素数系／フロベニウスの定理／多元複素数系と行列との関係／交代数
第12章 演習問題／第12章 諸定理
第13章 二元二次形式の数論
第1節 整係数の二次形式
二次形式の数論上の問題／二次無理数／モジュラー群／モジュラー図形／負の判別式をもつ二次形式／正の判別式をもつ二次形式／不定符号二次形式の幾何学的表示／二次形式の不変変換
第2節 二次形式による数の表示
二次形式の表す数／ヤコビの記号／二次形式の種
第3節 実係数の二次形式
実係数の二次形式／エルミットの連続還元法／極小二次形式／二次形式の数論の諸問題
第13章 演習問題／第13章 諸定理
第14章 一次変換群
第1節 多面体群
一次変換群と射影変換群／一次変換群の不変式／二元一次変換群／多面体群／ケイリーの回転の公式／多面体群の解析的表示／同次多面体群／第二種の多面体群／三元一次変換群
第2節 変換群の不変式
有限変換群の不変式／相対不変式／ガロア理論の拡張／クラインの形式問題／同次四面体群の不変式／同次八面体群の不変式／同次二十面体群の不変式／二十面体方程式と五次方程式
第3節 群行列
群行列と群行列式／正則群行列／一般の群行列／群行列の既約と可約／可約群行列の簡約／既約群行列／可約群行列の相似の条件／正則群行列
第4節 群の指標
アーベル群の指標／剰余指標／一般群の指標／群行列の相似の条件／正則群行列式の一次因子／群の指標の数論的性質／バーンサイドの定理
第14章 演習問題／第14章 諸定理
第15章 不変式論
第1節 二次形式の不変式
変換群と不変式／二元形式の不変式／不変式の条件／共変式／半不変式／二元三次，四次形式の不変式の基底／連立不変式と連立共変式／極線形式と推進形式／不変式を作り出す演算
第2節 不変式の幾何学的解釈
f(x, 1)＝0 の根による不変式の形／f(x, 1)＝0 の根による共変式の形／不変式，共変式の幾何学的解釈
第3節 記号的方法
アロンホールド-クレブシュの記法／畳み方と展げ方／代表的表示／奇数次の二元形式の標準形式
第4節 三元形式の不変式
三元形式の不変式／三元二次形式／三元三次形式／三元形式の不変式の幾何学的解釈／記号的方法
第5節 不変式の基底
不変式の基底／ヒルベルトの定理／二元形式の不変式の基底の存在証明／n元形式の不変式の基底の存在／不変式体／不変式論の拡張
第15章 演習問題／第15章 諸定理
第16章 代数数体の数論
第1節 代数的整数
代数数体の数論の発達／代数的整数／代数数体𝔎の整数／代数数体の基底／代数数体の単位／数体ℜ(\(\scriptsize \sqrt{-1}\)), ℜ(\(\scriptsize \sqrt{-3}\)), ℜ(\(\scriptsize \sqrt{-5}\))
第2節 イデアル
イデアル／イデアルの積／イデアルの基底／イデアル論の基本定理
第3節 合同式
イデアルを法とする合同／法𝔞の剰余類／N(𝔞)の性質／素イデアル／一次合同方程式／フェルマーの定理の拡張／イデアルを法とした有理整関数の合同
第4節 イデアルの類
イデアルの類／整でないイデアル
第5節 数環のイデアル
差数／数環および数環のイデアル／数環の先導
第6節 相対数体
相対数体／𝔎, 𝔎*のイデアルの関係／相対アーベル数体／イデアル論の発展
第16章 演習問題／第16章 諸定理
第17章 超越数
第1節 リューヴィル超越数
代数的数の必要条件／リューヴィルの定理の拡張
第2節 eとπの超越性
eの超越性／πの超越性
第17章 諸定理
結語／文献補遺／総索引／欧字先頭索引／著者索引
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