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代数学 第1巻 改訂新編


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書籍情報
本改訂新編は,藤原松三郎著「代数学」第一巻および第二巻を現代仮名遣いに改め,述語の一部を現在ひろく用いられているものに置き換えたものである.「代数学」第1巻の特徴として,代数学全般にわたり基礎的理論を詳述し,かつ高度な内容にまで説き及んでいるだけでなく,概念導入にあたりその背景を説明し具体例を挙げるなど丁寧な叙述をしていることが挙げられ,自修書としても適していると言える.第八章および第九章で系統的に論じられているFourier の定理,Sturm の定理あるいはRouth-Hurwitz の定理など代数方程式の根の分布に関する理論やNewton 法やHorner法などの近似解法は,力学系理論,物理学や工学等において重要であり,これらの方面の専門家にとっての貴重な参考書ともなる.藤原松三郎の「代数学」「微分積分学」は種々の事柄を長さを厭わず徹底的に解説している点に特長があり,個々の定理を出典文献を挙げて詳細に述べている.改訂新編では仮名遣いを現代表記に改めたほか,より現代の読者が読み易く分かり易いように表現や論証に手を加えた.現代の編著者が,原著の香りを出来る限り損なうことなく新たな命を吹き込んだ,名著の新たな発刊である.
代数学 第1巻 改訂新編
A5/604頁 定価(本体7500円+税) 978-4-7536-0161-5
藤原松三郎(理学博士) 著/浦川 肇(理学博士)/木 泉(理学博士)/藤原毅夫(工学博士) 編著
まえがき ちょっと立ち読み 著者略歴

目 次
編者緒言
原著者紹介/原著,新編用語対照表/記号対照表
序言

第1章 有理数体
第1節 自然数
緒言/自然数系の公理/相等/数学的帰納法/加法および乗法
第2節 整数
整数系/整数の加法/加法の結合法則/加法の交換法則/反数/整数の乗法/分配法則/乗法の結合法則/乗法の交換法則/零/負数/減法/相等に関する定理/整数の順序
第3節 順序数と計数
集合/有限集合と計数/無限集合
第4節 有理数
除法/二整数の対として定義された新数/有理数/有理数の順序/有理数系の稠密性/乗冪数と指数法則/算法の形式上不易の原則/群/有理数体

第2章 有理数体の数論
第1節 素数
素数/エラトステネスの篩/素数の表/無限に多くの素数の存在/素数の分布問題
第2節 整数の素因数分解
素因数分解の基本定理/モジュール/互いに素な数に関する定理/素因数分解の基本定理の証明/ユークリッド互除法
第3節 合同式
合同式/一次合同方程式
第4節 フェルマーの定理
剰余全系/ウィルスンの定理/オイラーの関数/フェルマーの定理
第5節 平方剰余
平方剰余と平方非剰余/ルジャンドルの記号/オイラーの判定条件/ガウスの補助定理/(2/p)の決定
第6節 反転法則
反転法則/平行格子/高木博士の証明
第7節 合成数の平方剰余
合成数の平方剰余/pμの場合/2λの場合/一般の場合
第8節 高次合同方程式
高次合同方程式の根/素数の原始δ乗根/pの原始根/合成数の原始根/pαの場合/2λの場合/標数系
第9節 ディオファンタス方程式
ディオファンタス解析/一次ディオファンタス方程式/フェルマーの最後定理/ピタゴラスの方程式/四次のフェルマー方程式
第10節 加法的数論
加法的性質/二つの平方数の和/四個の平方の和/ウェアリングの問題/数論の発展
第2章 演習問題/第2章 諸定理

第3章 無理数
第1節 循環小数
収束数列/gを基数とする小数/循環小数
第2節 メレーおよびカントルの無理数論
無理数の概念の発展/収束数列と基本数列/有界数列と単調数列/メレーおよびカントルの無理数の定義/実数の絶対値/無理数の稠密分布/実数の数列/極限の概念
第3節 乗冪と対数
n乗根/有理数を指数とする乗冪/無理数を指数とする乗冪/対数/自然対数の底e
第4節 デデキントの無理数論
デデキントの理論/切断の定義/切断の相等および大小/切断の正負/切断の和/切断の差/切断の積/切断の商/切断による無理数の定義/実数体と切断
第5節 無理数の二つの理論の調和
メレー-カントル,デデキントの定義による無理数の対応/一直線上の点列

第4章 有理数による無理数の近似
第1節 連分数の主要性質
小数による無理数の近似/有限連分数/ユークリッド互除法との関係/連分数の近似分数/無限連分数/同等なる無理数
第2節 最良近似の問題
最良の近似/中間近似分数/最良近似問題の決定
第3節 近似分数の判定条件
主要近似分数の条件/中間近似分数の条件
第4節 近似分数の近似度
フルウィッツの定理
第5節 循環連分数
循環連分数/ラグランジュの定理/ガロアの定理/√Dの連分数展開
第6節 フェルマー方程式
いわゆるペル方程式/方程式 x2Dy2=±4
第7節 連分数の幾何学的表示
クラインの方法/連分数の諸性質の幾何学的証明
第8節 ディオファンタス近似
ディオファンタス近似/ディリクレの定理/αxy−β の問題/数列 (nα) の分布/ (nα) の分布の均等性
第4章 演習問題/第4章 諸定理

第5章 複素数
第1節 複素数体
数の概念の最後の拡張/複素数の定義/複素数の絶対値/複素数体における 0 と 1/複素数の順序/複素数の平方根/複素数のn乗根/複素数の一般乗冪/複素数の特性としての零因数の否定
第2節 複素数の幾何学的表示
ガウス平面/複素数の和と差/複素数の積と商/円変換/複素数に関する史実
第5章 演習問題

第6章 有理整関数
第1節 有理関数体
有理整関数/有理整関数の除法/有理関数体/多変数の有理整関数と有理関数
第2節 二項定理と多項定理
二項定理/多項定理/導関数と連続関数
第3節 ユークリッド互除法
ユークリッド互除法/有理関数の分解/ラグランジュの補間公式/オイラーの恒等式/有理関数の展開
第4節 代数方程式の根の存在
代数学の基本定理/代数学の基本定理の証明/n個の根の存在/重根/共役根
第5節 有理整関数の既約性
既約の定義/ガウスの定理/整係数の有理整関数の既約条件/アイゼンシュタインおよびシェーネマンの既約条件/二つの凸多角形の平均形/有理整関数のニュートン多角形
第6節 有理整関数の合同
有理整関数を法とする合同/p,f(x) を法とする合同
第7節 同次関数と対称関数
代数方程式の根と係数との関係/同次有理整関数/対称有理整関数/根の対称関数/根の冪和
第8節 根の連続性
係数の連続関数としての根/ルーシェの定理
第6章 演習問題/第6章 諸定理

第7章 行列式
第1節 置換
行列式の起源/置換/置換の積/巡回置換/互換と奇置換,偶置換
第2節 行列式の基本性質
行列式の定義/行列式の基本性質/行列式の特有性質
第3節 小行列式
小行列式/ファンデルモンドの展開/ラプラスの展開
第4節 行列式の積
二つの行列式の積/行列式の積の拡張/相反行列式/ヤコビの定理/シルヴェスターの定理/アダマールの定理
第5節 行列式の階数
階数/行列式の積の階数/クロネッカーの定理/対称行列式の階数
第6節 一次方程式
n元一次方程式のn個の一組/一次式の一組の独立性/D=0 なる場合/ディオファンタス近似に関するクロネッカーの定理
第7節 終結式
終結式/終結式の構造/シルヴェスターの消去法/f(x)=0, g(x)=0 の根で表されたR(f,g)
第8節 判別式
判別式/二次,三次方程式の根の性質/判別式のほかの形
第9節 ベズー行列式
ベズー行列式/f(x), g(x) の最大公約関数/Bmと終結式との関係/ケイリーの公式
第10節 有理関数の展開係数
有理関数の展開係数の条件/条件の第二の形/f(x), g(x) の公約関数/C0(k)Bk+1, Rk+1 との関係
第7章 演習問題/第7章 諸定理

第8章 方程式
第1節 低次方程式
二次方程式/三次方程式/四次方程式/五次方程式
第2節 根の存在範囲
根の存在範囲/掛谷の定理/クロネッカーの定理
第3節 方程式 f(x)=0, f'(x)=0 の根の関係
ロルの定理/ガウスの定理/ラゲールの定理/グレイスの定理/グレイスの定理の応用
第4節 フーリエの定理
数列の符号の変化の数/フーリエの定理/デカルトの符号の法則/虚根の数に関するガウスの定理
第5節 スツルムの定理
スツルムの定理/三次四次方程式への応用/広義のスツルム鎖
第6節 数字方程式
数字方程式/実根の範囲/実根の分離/ニュートンの方法/ホーナーの方法/反復法/グレッフェの方法
第8章 演習問題/第8章 諸定理

第9章 方程式と二次形式
第1節 二次形式
二次形式/二次形式の標準形/ヤコビの変換/一般の場合/二次形式の慣性律/定符号二次形式/非負二次形式
第2節 エルミットおよびベズー形式
エルミット形式/ベズー形式
第3節 二次形式の特有方程式
シルヴェスターの定理/再帰二次形式
第4節 スツルムの問題
エルミットの方法/すべての根が実数であるための条件/正根の条件/ f(x)=0, g(x)=0 の根がすべて実数で,互いに分つための条件/再帰二次形式が正値形式となるための条件/ L形式
第5節 エルミットの問題
エルミットの問題/ラウス-フルウィッツの問題/シューアの問題
第9章 演習問題/第9章 諸定理

第1巻 補遺
和算家による独創的成果
総索引
欧字先頭索引
著者索引
引用雑誌名略記



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