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書籍情報
〔まえがきより〕本書が目指した1つの特徴は，統計的漸近理論に関する論文の「読み・書き」ができるようになる書であり，まさにそのようなリテラシーと証明の技術を養うことが目的である．（中略...）本書のもう1つの目的は，「確率過程の統計推測」へのいざないである．古典的にはIIDという条件下での統計学が主流であるが，ビッグデータの現代統計ではより複雑な従属関係にあるデータを扱うことが多いであろう．IIDの統計を従属データに自然に拡張していこうとすると，その分岐の1つが「確率過程」である．本書の第3章は，そのような確率過程の統計学にも応用可能な枠組みで理論を組み立てており，さらに第6章では，確率過程で本質的になるマルチンゲールに関する性質と統計学での役割について触れ，さらにその先へ進みたい方への動機づけを行っている． |
関連情報
→著者HP正誤情報 |
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統計学への漸近論，その先は
現代の統計リテラシーから確率過程の統計学へ
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| A5／256頁 定価（本体3800円＋税） 978-4-7536-0126-4
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| 清水泰隆（博士（数理科学）） 著 |
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 目 次 |
第1章 統計学の測度論的枠組み
1.1 標本と分布と確率空間
1.1.1 母集団と標本
1.1.2 有限母集団と無限母集団
1.1.3 統計学の目的：分布という概念
1.2 標本の抽出
1.2.1 無作為抽出とは？
1.2.2 サンプルサイズn→∞のときの確率空間
1.3 分布のモデルと統計的実験
1.3.1 確率変数の一般化
1.3.2 真の分布と統計モデル
1.3.3 統計的実験
1.3.4 統計量と推定量
1.4 本書で用いる記号と表記法
第2章 良い推定量とは何か？
2.1 不偏性
2.2 最小分散不偏推定量
2.3 平均2乗誤差：MSE
2.4 一致性
2.5 漸近正規性
2.6 漸近有効性
2.7 シミュレーションによる例証の方法
2.7.1 不偏性・MSE・一致性の例証法
2.7.2 漸近正規性の例証法
第3章 パラメトリック推定
3.1 最尤推定：主にIIDの下で
3.1.1 最尤法の思想
3.1.2 IID標本下におけるMLEの一致性
3.1.3 IID標本下における対数尤度の一様収束
3.1.4 強一致性を得るためには？
3.1.5 IID標本下におけるMLEの漸近正規性・漸近有効性
3.2 M-推定：IIDのその先へ
3.2.1 M-推定量と漸近挙動
3.2.2 線形回帰モデルと最小2乗法
3.2.3 誤特定下での最尤法
3.3 Z-推定：未知方程式の解の推定
3.3.1 Z-推定量と漸近挙動
3.3.2 モーメント法
3.3.3 分位点推定
3.3.4 ワンステップ推定量
3.4 推定量のモーメント型収束
3.4.1 ルベーグ収束定理は使いづらい？
3.4.2 IID標本下におけるMLE のモーメント収束
3.4.3 MLEのモーメント収束：より扱いやすい条件へ
第4章 モデル選択の理論
4.1 分布間の擬距離：ダイバージェンス
4.2 予測分布
4.3 情報量規準(IC)
4.4 その他の情報量規準について
第5章 ノンパラメトリック推定
5.1 経験推定
5.1.1 経験分布関数
5.1.2 経験分布の汎関数
5.2 カーネル密度推定
5.2.1 確率密度関数の推定
5.2.2 MSE とMISE
5.3 カーネル回帰：Nadaraya-Watson 推定量
第6章 統計学，その先へ
6.1 マルチンゲールの定義と性質
6.1.1 IIDノイズの拡張：マルチンゲール差分
6.1.2 マルチンゲールに関する有用な不等式
6.2 なぜ統計学にマルチンゲールが必要か？
6.2.1 尤度比のマルチンゲール性
6.2.2 スコアのマルチンゲール性
6.2.3 Fisher情報量に相当するもの：観測情報量
6.2.4 一般のMLEに対する漸近正規性に迫る
6.3 その先へ：確率過程への統計テクニック
6.3.1 確率過程モデルにおける観測は三角列
6.3.2 確率微分方程式の統計推測へ
付録A コントラスト関数の一様収束
A.1 Sobolev の不等式による方法
A.2 C-空間上の分布収束を利用する方法
A.2.1 C-空間
A.2.2 距離空間における分布収束
A.2.3 C-空間における分布収束
付録B 中心極限定理いろいろ
B.1 多変量中心極限定理
B.2 Lindberg-Feller の中心極限定理
B.3 マルチンゲール中心極限定理
B.4 一般の三角列の和に対する中心極限定理
付録C 漸近有効性とLAN
C.1 近接する確率測度：接触性
C.2 局所漸近正規性(Local Asymptotic Normality: LAN)
C.3 一般の推定量に対する漸近有効性
付録D 落ち穂拾い
D.1 サンプルサイズとサンプル数？
D.2 ベクトル値関数の平均値の定理？
D.3 線形回帰モデルにおけるLSE の漸近正規性(その2)
D.4 連続収束：推定量を代入した関数列の収束
付録E 演習の解答
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