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書籍情報
本書は「基礎を中心に学びたい」「応用や数学の面白さを知りたい」読者に向けて，微分積分の基礎や応用の興味深い内容をいろいろな難易度で学習できる教科書．各章ごとに重要なコンテンツを見開きページで解説した〈オーバービュー〉を配置し，章全体の内容や学習の立ち位置を俯瞰的に確認することができるほか面白くて意外な使われ方などを紹介する〈珈琲ブレイク〉でリフレッシュも．さまざまな仕掛けが盛り込まれ数学を学ぶ楽しさを満喫できる書となっている． |
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微分積分入門
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| A5／296頁 定価（本体2800円＋税） 978-4-7536-0071-7
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| 堀内利郎（理学博士）／下村勝孝（博士（学術））／鈴木香奈子（博士（理学）） 著 |
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 目 次 |
第1章 実数
第1章 オーバービュー
1.1 実数
1.1.1 実数の基本性質
1.1.2 有理数と無理数
1.1.3 ステップ・アップ：可算集合と有理数の可算性
1.1.4 珈琲ブレイク：実数の非可算性
1.1.5 確認問題
1.2 数列
1.2.1 数列の基本性質
1.2.2 有界数列・単調数列・部分列
1.2.3 ステップ・アップ：上限と下限の存在
1.2.4 珈琲ブレイク：ヒルベルト・ホテル
1.2.5 確認問題
1.3 無限級数
1.3.1 無限級数の基本性質
1.3.2 正項級数，絶対収束と条件収束
1.3.3 ステップ・アップ：交代級数の収束性
1.3.4 珈琲ブレイク：\(x \in [0,1] \)が有理数である確率が0であること
1.3.5 確認問題
第2章 1変数関数の導入
第2章 オーバービュー
2.1 連続関数
2.1.1 連続関数の基本性質
2.1.2 重要な関数の極限の証明とベキ乗関数
2.1.3 ステップ・アップ：中間値の定理と最大値・最小値の定理
2.1.4 珈琲ブレイク：関数と関数の距離を測ってみよう
2.1.5 確認問題
2.2 初等的な関数
2.2.1 関数の基本性質
2.2.2 重要な初等関数の例
2.2.3 珈琲ブレイク：なぜ双曲線関数なのか？
2.2.4 確認問題
第3章 微分法
第3章 オーバービュー
3.1 微分法
3.1.1 微分法の導入
3.1.2 指数関数と三角関数の微分・高階導関数
3.1.3 ステップ・アップ：ライプニッツの公式
3.1.4 珈琲ブレイク：二項定理
3.1.5 確認問題
3.2 微分法の運用
3.2.1 合成関数と逆関数の微分法
3.2.2 対数微分法
3.2.3 アドバンスト：簡単な微分方程式を解いてみよう
3.2.4 珈琲ブレイク：危険なベキ乗ベキ乗関数の微分
3.2.5 確認問題
3.3 平均値の定理とテイラー展開
3.3.1 平均値の定理
3.3.2 テイラーの定理
3.3.3 ステップ・アップ：テイラー展開と漸近展開
3.3.4 珈琲ブレイク：オイラーの定数
3.3.5 確認問題
第4章 微分法の応用
第4章 オーバービュー
4.1 関数の極値問題
4.1.1 極大と極小
4.1.2 関数のグラフの凹凸
4.1.3 珈琲ブレイク：カーブの不思議（曲率と曲率半径）
4.1.4 確認問題
4.2 不定形の極限
4.2.1 ロピタルの定理
4.2.2 \( \frac{\infty}{\infty} \) 型の不定形
4.2.3 珈琲ブレイク：ニュートン法入門
4.2.4 確認問題
4.3 関数列と関数項の級数
4.3.1 各点収束と一様収束
4.3.2 テイラー級数
4.3.3 珈琲ブレイク：これが有名なオイラーの公式です
4.3.4 確認問題
第5章 積分法
第5章 オーバービュー
5.1 不定積分
5.1.1 不定積分の基本性質
5.1.2 有理関数の不定積分
5.1.3 アドバンスト：微分方程式の解法への応用
5.1.4 珈琲ブレイク：雨粒の最終速度について
5.1.5 確認問題
5.2 定積分
5.2.1 定積分の基本性質
5.2.2 単調関数と連続関数の積分可能性
5.2.3 ステップ・アップ：微分積分と極限操作の交換可能性
5.2.4 珈琲ブレイク：本やレンガをずらして重ねていくと何が起こるのか？
5.2.5 確認問題
第6章 積分法の応用
第6章 オーバービュー
6.1 積分法の具体的運用
6.1.1 面積と曲線の長さ
6.1.2 ステップ・アップ：有理関数の積分に帰着する不定積分
6.1.3 アドバンスト：ウォリスの公式とスターリングの公式
6.1.4 珈琲ブレイク：積分法によるテイラーの公式の簡単導出
6.1.5 確認問題
6.2 広義積分
6.2.1 広義積分の基本性質
6.2.2 広義積分の様々な優関数
6.2.3 珈琲ブレイク：ガンマ関数とベータ関数の不思議な関係
6.2.4 確認問題
第7章 偏微分法
第7章 オーバービュー
7.1 2変数関数
7.1.1 2変数関数の導入
7.1.2 方向微分
7.1.3 ステップ・アップ：偏導関数の連続性と応用
7.1.4 珈琲ブレイク：散歩の達人（急坂と勾配ベクトルについて）
7.1.5 確認問題
7.2 偏導関数の計算法
7.2.1 合成関数の偏微分法と2階偏導関数
7.2.2 2次元の変数変換
7.2.3 ステップ・アップ：3次元の極座標変換
7.2.4 珈琲ブレイク：少し危険な変数変換について
7.2.5 確認問題
7.3 高階導関数
7.3.1 高階導関数の基本性質
7.3.2 テイラーの定理
7.3.3 珈琲ブレイク：積分法によるテイラー級数展開の導出
7.3.4 確認問題
第8章 偏微分法の応用
第8章 オーバービュー
8.1 偏導関数の幾何学的応用
8.1.1 接平面と法線
8.1.2 全微分可能性
8.1.3 珈琲ブレイク：全微分の直感的意味
8.1.4 確認問題
8.2 陰関数の微分法
8.2.1 陰関数定理
8.2.2 陰関数定理の証明と補足
8.2.3 珈琲ブレイク：3変数の陰関数定理と応用
8.2.4 確認問題
8.3 極値問題
8.3.1 極大・極小と停留点
8.3.2 ステップ・アップ：最大・最小問題への応用
8.3.3 アドバンスト：条件付き極値問題とラグランジュ乗数法
8.3.4 珈琲ブレイク：シャボン玉がテーブルにくっ付くと
8.3.5 確認問題
第9章 重積分法
第9章 オーバービュー
9.1 重積分
9.1.1 重積分と累次積分
9.1.2 累次積分とフビニの定理
9.1.3 珈琲ブレイク：カヴァリエリの原理
9.1.4 確認問題
9.2 重積分の変数変換
9.2.1 変数変換とヤコビアン
9.2.2 平面図形の重心
9.2.3 珈琲ブレイク：ヤコビアンの幾何学的意味は？
9.2.4 確認問題
9.3 広義重積分
9.3.1 広義重積分の基本性質
9.3.2 広義積分の収束判定法
9.3.3 珈琲ブレイク：ガンマ関数とベータ関数の非線形な関係
9.3.4 確認問題
第10章 重積分の応用
第10章 オーバービュー
10.1 体積・曲面積
10.1.1 体積・曲面積の求め方
10.1.2 交差・回転で現れる図形の体積・表面積
10.1.3 アドバンスト：一般の三重積分
10.1.4 珈琲ブレイク：何故，錐体の体積には\( \frac{1}{3} \)が付くのか
10.1.5 確認問題
10.2 ベクトル解析入門
10.2.1 平面上の線積分
10.2.2 グリーンの定理
10.2.3 ガウスの定理
10.2.4 珈琲ブレイク：平面上のアルキメデスの原理
10.2.5 確認問題
確認問題の解答
Appendix
(1) 2.2.2: 指数関数の本質的性質\(a^{x+y}=a^{x} a^{y}\)について
(2) 3.3.2: コーシーの剰余項(3.3.3) の導出
(3) 4.1.3: 曲率が一定な曲線は円である（〈珈琲ブレイク〉脚注）
(4) 4.2.2: \( \frac{\infty}{\infty} \) 型のロピタルの定理（定理4.2.3）の証明
(5) 4.2.3: 定理4.2.5（ニュートン法による高速収束列の構成）
(6) 5.1.2: 有理関数の不定積分の詳細
(7) 5.2.2: 定理5.2.10 : 一様連続性の証明
(8) 10.1.4: 錐体の側面積を求めてみよう
(9) 10.2.2: グリーンの定理による重積分の変数変換（定理9.2.2）の証明
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